Encore l'être nécessaire
Débat Von Reich vs Daxes
Comme il n'a pas effectué de correction, on y retourne mais en plus fort, voici le nouvel argument :
- il existe des choses
- tout ce qui existe est soit nécessaire soit contingent
- si ce qui existe est nécessaire bah ya un être nécessaire...
- si ce qui existe n'est pas nécessaire alors il est contingent
- tout contingent a une cause extrinseque
- or l'ensemble des contingents est un contingent
- donc il a une cause extrinsèque
- extérieure à l'ensemble des contingents, (le terme ensemble ici n'est pas connoté théorie des ensembles ou que sais-je, ensemble ou groupe ou totalité ou collection)
- alors la cause extrinsèque est nécessaire.
- ...
- collection d'objets
Ensuite, Daxes essaye de savoir ce qu'on peut faire avec ces collections.
-
Tout ce qui est inclu dans C est dans C.
Autrement dit : toute sous collection de C, est elle aussi contingente. Ce qui viole le théorème de Cantor.
Alors comment montrer ça... C'est pas simple, car s'extraire de ZFC sans affirmer grand chose ne nous donne pas les axiomes pour utiliser directement Cantor. Perdant les ensembles, on pert directement de fait les injections, surjections, bijections, cardinaux. Cependant, on peut s'inspirer de la démonstration de Cantor pour montrer qu'il n'existe pas de surjection de C dans P(C), et conclure à une contradiction en en bricolant une.
- Soit C la collection des contingents.
- pour toute collection A, si chaque élément de A appartient à C, alors A appartient à C, soit : ∀ A [ (∀ a ∈ A, a ∈ C ) => A ∈ C]
- Considérons P(C) = les parties de C : la collection des collections de contingents.
- Supposons qu'il existe f : C -> P(C) tel que : pour tout y de P(C), il existe x dans C tel que y = f(x).
- Notons D = {x ∈ C | x ∉ f(x) }
- Comme D est dans P(C), alors il existe y dans C tel que f(y) = D
- f(y) = {x ∈ C | x ∉ f(x) }
- Soit y ∈ D, et il vérifie donc la condition y ∉ f(y) nécessaire pour appartenir à D, ce qui est une contradiction.
- Soit y ∉ D, et alors il ne vérifie pas la condition y ∉ f(y) nécessaire pour appartenir à D, ce qui est une contradiction.
- Conclusion : il n'existe pas de fonction f : C -> P(C) tel que pour tout y de P(C), il existe x dans C tel que y = f(x).
- Soit f une fonction de C -> P(C) tel que f(x) = [ si x dans P(C) alors x, sinon C ]. (notez que C est aussi un subset de C donc C ∈ P(C))
- Pour tout y dans P(C), il existe x = y tel que y = f(x).
- Contradiction.
Ici, les seuls axiomes qu'on suppose sur les collections sont
- un élément appartient à sa collection
- Si A est une collection alors P(A) est la collection des parties de A
- Le filtre sur une collection.
Et c'est contradictoire avec :
- Il existe une collection C tel que : ∀ A [ (∀ a ∈ A, a ∈ C ) => A ∈ C]
Voilà pourquoi on ne peut pas avoir de version intuitive de ces choses. Si les plus grands mathématiciens se sont pétés les dents sur la question des axiomes des ensembles, c'est car c'est réellement difficile comme question. Choisir une notion de collection intuitive, c'est au mieux de la naiveté, au pire une arnaque.